数学学院新生研讨课报告聆听者 杨昊天

今天，通过新生研讨课这个平台，我有幸聆听了中科院数学与系统科学研究院张立群研究员《分析中的一些思想和方法》报告。张老师首先简要介绍了分析这一数学分支的产生背景、特征和研究内容。数学分析是专门研究函数和无穷小的数学分支，即无穷小的分析。数学分析产生于17世纪，物理学家对物体运动的研究引出了一些动态问题，这些动态问题与古代数学家研究的几何和数论等静态的问题有着本质的差别。为解决这些动态的问题，微积分产生了，分析这一数学分支随之诞生。在古代，人们只能研究二次曲线的极值和切线等较为初等的问题，微积分的诞生使人们得以研究更为复杂的曲线的相关问题。微积分这一工具渗透到数学和现代科学的各个领域，爱因斯坦的广义相对论、波函数随时间演化的薛定谔方程以及期权定价的black-scholes公式都体现了微积分广泛的应用。

随后，张老师从矩阵与特征值、微分与极大值原理、积分与不等式三个角度具体讲解了分析中的一些思想方法。张老师首先介绍了矩阵特征值这一重要概念，通过求矩阵特征值的方法阐述了特征值和分析的关系，最后对特征值进行推广，定义了无穷维算子的特征值。对于微分，张老师首先介绍了它的产生背景和严格定义。微分与极值密切相关，由微分的定义可以得到极大值原理。极大值原理来自极大模原理，可以用于先验估计。这一结论也可以推广到高维的情况。对于积分，张老师同样给出了积分的定义，并以等周不等式、索伯列夫不等式、Ricci流单调不等式为例，说明积分在不等式问题中的重要应用。最后，张老师简单介绍了庞加莱猜想以及Perelman的重要工作。张老师总结道：“微分和积分如同分析的左膀右臂，在数学和物质科学中应用广泛，但仍然存在很多有待解决的问题。”

张老师的报告紧密结合大一数学分析的课程内容，既有对分析这个数学分支的整体介绍，又有对极限、微分和积分的产生背景的介绍，还包含具体问题的分析和证明，并给出了数学分析课的学习指导，内容十分丰富。本次报告和本学期数学分析课程学习相互印证，让我更加明确了大一数学的学习方法。数学分析和高等代数是进一步数学学习的基础，容不得一点漏洞。在之前的数学分析和高等代数学习中，我过于注重做题，把刷完所有课后题作为学习的主要目标，对基本概念的理解不够深入，做题时也不深入思考，有机械重复的倾向。在本学期剩余的时间里，我应将阅读课本，请教老师和同学，高质量完成习题等方式结合起来，更加深入地理解基本概念，掌握定理的证明方法，为将来的数学学习打好基础。